Dla każdej dodatniej liczby \(a\) iloraz \({{{a^{ - 2,6}}} \over {{a^{1,3}}}}\) jest równy

A. \({a^{ - 3,9}}\)
B. \({a^{ - 2}}\)
C. \({a^{ - 1,3}}\)
D. \({a^{ 1,3}}\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź A.

Korzystamy ze wzorów na działania na potęgach:$$\eqalign{ & {{{a^m}} \over {{a^n}}} = {a^{m - n}} \cr & {{{a^{ - 2,6}}} \over {{a^{1,3}}}} = {a^{ - 2,6 - 1,3}} = {a^{ - 3,9}} \cr} $$

Liczba \({\log _{\sqrt 2 }}(2\sqrt 2 )\) jest równa

A. \({3 \over 2}\)
B. \(2\)
C. \({5 \over 2}\)
D. \(3\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź D.

Wykorzystujemy wzory z działań na logarytmach oraz własności logarytmów:$$\eqalign{ & {\log _a}(x \cdot y) = {\log _a}x + {\log _a}y \cr & {\log _{\sqrt 2 }}(2\sqrt 2 ) = {\log _{\sqrt 2 }}2 + {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt 2 \cr & \cr & {\log _a}a = 1 \cr & {\sqrt 2 ^2} = 2 \cr & \cr & {\log _{\sqrt 2 }}2 + {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt 2 = 2 + 1 = 3 \cr} $$

Liczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 48% liczby a oraz 32% liczby c. Wynika stąd, że

A. \(c=1,5a\)
B. \(c=1,6a\)
C. \(c=0,8a\)
D. \(c=0,16a\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź A.

Zapisujemy odpowiedni układ równań i rozwiązujemy:$$\eqalign{ & a > 0 \wedge c > 0 \cr & \cr & \langle _{b = 32\% \cdot c}^{b = 48\% \cdot a} \cr & b = {{48} \over {100}}a \cr & b = {{32} \over {100}}c \cr & {{48a} \over {100}} = {{32c} \over {100}} \cr & 4800a = 3200c \cr & c = {{48} \over {32}}a = 1,5a \cr} $$

Równość \({(2\sqrt 2 - a)^2} = 17 - 12\sqrt 2 \) jest prawdziwa dla

A. \(a=3\)
B. \(a=1\)
C. \(a=-2\)
D. \(a=-3\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź A.

Najszybciej podstawić wyniki po kolei do równości i sprawdzić, czy jest prawdziwa: $$\eqalign{ & {(2\sqrt 2 - a)^2} = 17 - 12\sqrt 2 \cr & a = 3 \cr & {(2\sqrt 2 - 3)^2} = 17 - 12\sqrt 2 \cr & 8 - 12\sqrt 2 + 9 = 17 - 12\sqrt 2 \cr & 17 = 17 \cr & L = P \cr} $$

Jedną z liczb, które spełniają nierówność \( - {x^5} + {x^3} - x < - 2\), jest

A. 1
B. -1
C. 2
D. -2

Rozwiązanie:
Odpowiedź C.

Podstawiamy po kolei odpowiedzi i sprawdzamy, która spełnia nierówność:$$\eqalign{ & - {x^5} + {x^3} - x < - 2 \cr & \cr & x = 1 \cr & - 1 + 1 - 1 < - 2 \cr & - 1 < - 2 \cr & \cr & x = - 1 \cr & 1 - 1 + 1 < - 2 \cr & 1 < - 2 \cr & \cr & x = 2 \cr & - {2^5} + {2^3} - 2 < - 2 \cr & - 32 + 8 + 2 < - 2 \cr & - 22 < - 2 \cr} $$

Proste o równaniach \(2x - 3y = 4\) i \(5x - 6y = 7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że

A. \(P = (1,2)\)
B. \(P = (-1,2)\)
C. \(P = (-1,-2)\)
D. \(P = (1,-2)\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź C.

Zapisujemy równania w postaci układu i rozwiązujemy. Otrzymane wartości będą współrzędnymi punktu \(P\):$$\eqalign{ & \langle _{5x - 6y = 7}^{2x - 3y = 4} \cr & _ + \langle _{5x - 6y = 7}^{ - 4x + 6y = - 8} \cr & x = - 1 \cr & y = {{2x - 4} \over 3} \cr & y = {{ - 6} \over 3} = - 2 \cr} $$

Punkty \(ABCD\) leżą na okręgu o środku \(S\) (zobacz rysunek).


Miara kąta \(BDC\) jest równa

A. \(91^\circ \)
B. \(72,5^\circ \)
C. \(18^\circ \)
D. \(32^\circ \)

Rozwiązanie:
Odpowiedź D.

Kąt środkowy \(ASC\) oraz wpisany \(ADC\) są oparte na tym samym łuku, więc:$$\eqalign{ & \left| {\angle ADC} \right| = {1 \over 2}\left| {\angle ASC} \right| \cr & \left| {\angle ADC} \right| = {1 \over 2} \cdot 118^\circ = 59^\circ \cr & \left| {\angle BDC} \right| = \left| {\angle ADC} \right| - \left| {\angle ADB} \right| \cr & \left| {\angle ADC} \right| = 59^\circ - 27^\circ = 32^\circ \cr} $$

Dana jest funkcja liniowa \(f(x) = {3 \over 4}x + 6\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

A. \(8\)
B. \(6\)
C. \(-6\)
D. \(-8\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź D.

Aby obliczyć miejsce zerowe funkcji podstawiamy za \(f(x) 0 \) i rozwiązujemy równość:$$\eqalign{ & f(x) = {3 \over 4}x + 6 \cr & f(x) = 0 \cr & 0 = {3 \over 4}x + 6 \cr & {3 \over 4}x = - 6 \cr & 3x = - 24 \cr & x = - 8 \cr} $$

Równanie wymierne \({{3x - 1} \over {x + 5}} = 3\), gdzie \(x \ne - 5\),

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.

Rozwiązanie:
Odpowiedź A.

Mnożymy równanie na krzyż i obliczamy \(x\):$$\eqalign{ & {{3x - 1} \over {x + 5}} = 3 \cr & 3(x + 5) = 3x - 1 \cr & 3x + 15 = 3x - 1 \cr & 15 = - 1 \cr & L \ne P \cr} $$Równanie wychodzi sprzeczne, więc nie ma ono rozwiązań rzeczywistych.

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W = (1,9)\). Liczby 2 i 4 to miejsca zerowe funkcji \(f\).



Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

A. \(( - \infty , - 2\rangle \)
B. \(\langle - 2,4\rangle \)
C. \(\langle 4, + \infty )\)
D. \(( - \infty ,9\rangle \)

Rozwiązanie:
Odpowiedź D.

Widzimy na osi \(OY\), że funkcja przyjmuje wartości od \( - \infty \) do \(9\) włącznie.

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W = (1,9)\). Liczby 2 i 4 to miejsca zerowe funkcji \(f\).



Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle - 1,2\rangle \) jest równy

A. \(2\)
B. \(5\)
C. \(8\)
D. \(9\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź B.

Ponieważ mamy przedstawiony wykres funkcji \(f\), możemy zaznaczyć właściwy przedział w układzie wspórzednych:



Widzimy, że najmniejszą wartością, jaką funkcja przyjmuje w tym przedziale to \(f(-1)=5\).

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = {{2{x^3}} \over {{x^6} + 1}}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f( - \root 3 \of 3 )\) jest równa

A. \( - {{\root 3 \of 9 } \over 2}\)
B. \( - {3 \over 5}\)
C. \( {3 \over 5}\)
D. \({{\root 3 \of 3 } \over 2}\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź B.

Obliczamy wynik podstawiając dane do równania:$$\eqalign{ & x = - \root 3 \of 3 \cr & f( - \root 3 \of 3 ) = {{2 \cdot {{( - \root 3 \of 3 )}^3}} \over {{{( - \root 3 \of 3 )}^6} + 1}} = {{2 \cdot ( - 3)} \over {{3^2} + 1}} = {{ - 6} \over {10}} = - {3 \over 5} \cr} $$

W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze \(31^\circ \) (zobacz rysunek).



Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału

A. \(\left\langle {{9 \over 2},{{11} \over 2}} \right\rangle \)
B. \(\left\langle {{11 \over 2},{{13} \over 2}} \right\rangle \)
C. \(\left\langle {{13 \over 2},{{19} \over 2}} \right\rangle \)
D. \(\left\langle {{19 \over 2},{{37} \over 2}} \right\rangle \)

Rozwiązanie:
Odpowiedź A.

Przyjmujemy, że kąt \(\angle KAS\) ma miarę \(30^\circ \). W ten sposób trójkąt \(KAS\) jest trójkątem prostokątnym i ma miary kątów: \(30^\circ \), \(60^\circ \), \(90^\circ \). Jest to połowa trójkąta równobocznego. Skoro \(\left| {AS} \right| = 10\), to \(\left| {KS} \right| = 5\). Ta wartość zawarta jest w przedziale \(\left\langle {{9 \over 2},{{11} \over 2}} \right\rangle \).

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa \(\left( { - {3 \over 2}} \right)\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

A. \({{37} \over 2}\)
B. \(-{{37} \over 2}\)
C. \(-{{5} \over 2}\)
D. \({{5} \over 2}\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź A.

Wykorzystujemy wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, aby wyliczyć 1. wyraz ciągu, następnie obliczamy 7. wyraz:$$\eqalign{ & {a_n} = {a_1} + (n - 1)r \cr & \cr & {a_{14}} = 8 \cr & n = 14 \cr & r = - {3 \over 2} \cr & 8 = {a_1} + (14 - 1) \cdot \left( { - {3 \over 2}} \right) \cr & 8 = {a_1} - {{13 \cdot 3} \over 2} \cr & {a_1} = 8 + {{39} \over 2} = {{55} \over 2} \cr & \cr & {a_7} = {a_1} + 6r \cr & {a_7} = {{55} \over 2} + 6 \cdot \left( { - {3 \over 2}} \right) = {{55} \over 2} - {{18} \over 2} = {{37} \over 2} \cr} $$

Ciąg (x, 2x+3, 4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A. \(-4\)
B. \(1\)
C. \(0\)
D. \(-1\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź D.

Rozpisujemy podane wyrazu ciągu geometrycznego, stosując wzor na n-ty wyraz ciągu:$$\eqalign{ & {a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}} \cr & \cr & {a_1} = x \cr & {a_2} = 2x + 3 \cr & {a_3} = 4x + 3 \cr & \cr & {a_2} = {a_1} \cdot q \cr & {a_3} = {a_1} \cdot {q^2} \cr & \cr & 2x + 3 = x \cdot q \wedge 4x + 3 = x \cdot {q^2} \cr & q = 2 + {3 \over x} \cr & \cr & 4x + 3 = x \cdot {\left( {2 + {3 \over x}} \right)^2} \cr & 4x + 3 = x \cdot \left( {4 + {{12} \over x} + {9 \over {{x^2}}}} \right) \cr & 4x + 3 = 4x + 12 + {9 \over x} \cr & - 9 = {9 \over x} \cr & x = - 1 \cr} $$

Przedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne.



Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość

A. \(8\)
B. \(8,5\)
C. \(9,5\)
D. \(10\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź B.

Na podstawie kątów jesteśmy w stanie określić następujące:$$\eqalign{ & AB \to QP \cr & CB \to QR \cr & AC \to PR \cr} $$Więc:$$\eqalign{ & {x \over {17}} = {9 \over {18}} \cr & x = 8,5 \cr} $$

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(tg\alpha = {2 \over 3}\). Wtedy

A. \(\sin \alpha = {{3\sqrt {13} } \over {26}}\)
B. \(\sin \alpha = {{\sqrt {13} } \over {13}}\)
C. \(\sin \alpha = {{2\sqrt {13} } \over {13}}\)
D. \(\sin \alpha = {{3\sqrt {13} } \over {13}}\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź C.

Rozpisujemy tangens i zaznaczamy dane na rysunku. Przeciwprostokątną obliczamy z tw. Pitagorasa, a następnie obliczamy wartość sinusa: $$tg\alpha = {2 \over 3} = {{2x} \over {3x}}$$ $$\eqalign{ & {c^2} = {(3x)^2} + {(2x)^2} = 9{x^2} + 4{x^2} = 13{x^2} \cr & c = \sqrt {13} x \cr & \cr & \sin \alpha = {{2x} \over {\sqrt {13} x}} = {{2\sqrt {13} } \over {13}} \cr} $$

Z odcinków o długościach: \(5\), \(2a+1\), \(a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. \(a=6\)
B. \(a=4\)
C. \(a=3\)
D. \(a=2\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź D.

Z własności trójkąta wiemy, że suma długości dwóch boków trójkąta musi być większa od długości trzeciego, więc: $$\eqalign{ & 5 + 2a + 1 > a - 1 \cr & 2a + 1 + a - 1 > 5 \cr & a - 1 + 5 > 2a + 1 \cr & \cr & a > - 7 \cr & \cr & 3a > 4 \cr & a > 1{1 \over 3} \cr & \cr & 3 > a \cr & a < 3 \cr & \cr & a \in \left( {1{1 \over 3},3} \right) \cr} $$ Z powyższego wynika, że tylko \(a=2\) spełnia warunek zadania.

Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do guokrę o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).



Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest

A. \(14\)
B. \(2\sqrt {33} \)
C. \(4\sqrt {33} \)
D. \(12\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź B.

Skoro prosta jest styczna do okręgu, wiemy że kąt \(\angle {O_1}P{O_2}\) jest kątem prostym.



Z podanych wartości obliczamy długość przyprostokątnej, posługując się twierdzeniem Pitagorasa. Następnie obliczamy wartość pola:$$\eqalign{ & {\left| {{O_1}P} \right|^2} = {(3 + 4)^2} - {4^2} \cr & {\left| {{O_1}P} \right|^2} = 49 - 16 = 33 \cr & \left| {{O_1}P} \right| = \sqrt {33} \cr & \cr & P = {{\left| {{O_1}P} \right| \cdot \left| {P{O_2}} \right|} \over 2} \cr & P = {{\sqrt {33} \cdot 4} \over 2} = 2\sqrt {33} \cr} $$

Proste opisane równaniami \(y = {2 \over {m - 1}}x + m - 2\) oraz \(y = mx + {1 \over {m + 1}}\) są prostopadłe, gdy

A. \(m=2\)
B. \(m = {1 \over 2}\)
C. \(m = {1 \over 3}\)
D. \(m=-2\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź C.

Ponieważ podane proste są prostopadłe, iloczyn współczynników przy \(a\) musi być równy \(-1\):$$\eqalign{ & y = {2 \over {m - 1}}x + m - 2 \cr & y = mx + {1 \over {m + 1}} \cr & \cr & {a_1} \cdot {a_2} = - 1 \cr & {a_1} = {2 \over {m - 1}} \cr & {a_2} = m \cr & {2 \over {m - 1}} \cdot m = - 1 \cr & \cr & D:m \ne 1 \cr & \cr & {{2m} \over {m - 1}} = - 1 \cr & 2m = - m + 1 \cr & 3m = 1 \cr & m = {1 \over 3} \cr} $$

W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(a,6)\) oraz \(B=(7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M=(3,4)\). Wynika stąd, że

A. \(a=5\) i \(b=5\)
B. \(a=-1\) i \(b=2\)
C. \(a=4\) i \(b=10\)
D. \(a=-4\) i \(b=-2\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź B.

Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka ocinka i podstawiamy odpowiednie dane:$$\eqalign{ & M = \left( {{{{x_A} + {x_B}} \over 2},{{{y_A} + {y_B}} \over 2}} \right) \cr & {{{x_A} + {x_B}} \over 2} = 3 \cr & {{{y_A} + {y_B}} \over 2} = 4 \cr & \cr & {{a + 7} \over 2} = 3 \Rightarrow a = - 1 \cr & {{6 + b} \over 2} = 4 \Rightarrow b = 2 \cr} $$

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy

A. \(0 \le p < 0,2\)
B. \(0,2 \le p \le 0,35\)
C. \(0,35 < p \le 0,5\)
D. \(0,5 < p \le 1\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź C.

Do obliczenia prawdobodobieństwa wykorzystujemy wzór z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:$$P(A) = {{\left| A \right|} \over {\left| \Omega \right|}}$$ Za \({\left| \Omega \right|}\) podstawiamy liczbę możliwości otrzymania 3 zestawów - 3 razy rzucamy dwustronną monetą, więc: $$\left| \Omega \right| = {2^3} = 8$$ Za \({\left| A \right|}\) podstawiamy natomiast liczbę kombinacji, w których występuje dokladnie 2 razy orzeł (OOR, ROO, ORO):$$\left| A \right| = 3$$$$\eqalign{ & P(A) = {{\left| A \right|} \over {\left| \Omega \right|}} \cr & p = {3 \over 8} = 0,375 \cr & 0,35 < p \le 0,5 \cr} $$

Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ \), a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa

A. \(36\pi \)
B. \(18\pi \)
C. \(24\pi \)
D. \(8\pi \)

Rozwiązanie:
Odpowiedź D.

Zaznaczamy dane na rysunku:



Wiemy, że \(H\), \(l\) oraz \(r\) tworzą połowę trójkąta równobocznego. Obliczamy więc wartość \(H\) oraz \(r\), a następnie \(V\):$$\eqalign{ & r = h = {{a\sqrt 3 } \over 2} \cr & r = {{4\sqrt 3 } \over 2} = 2\sqrt 3 \cr & \cr & V = {1 \over 3} \cdot {P_p} \cdot H \cr & H = 2 \cr & {P_p} = \pi {r^2} \cr & {P_p} = \pi {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 12\pi \cr & V = {1 \over 3} \cdot 12\pi \cdot 2 = 8\pi \cr} $$

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy łuższad od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).



Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt o mierze

A. \(30^\circ \)
B. \(45^\circ \)
C. \(60^\circ \)
D. \(75^\circ \)

Rozwiązanie:
Odpowiedź B.

Skoro przekątna podstawy jest 2 razy dłuższa od wysokości, to przekętna ma długość \(a\sqrt 2 \), a wysokość graniastosłupa \({{a\sqrt 2 } \over 2}\).



Chcemy wyznaczyć miarę kąta trójkąta, który składa się z wysokości graniastosłupa i połowy przekątnej podstawy pod kątem prostym. Te boki mają taką samą długość, więc \(\alpha = 45^\circ \).

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: \(31,16,25,29,27,x\) jest równa \({x \over 2}\). Mediana tych liczb jest równa

A. \(26\)
B. \(27\)
C. \(28\)
D. \(29\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź C.

Obliczamy wartość \(x\) przekształcając wzór:$$\eqalign{ & {{31 + 16 + 25 + 29 + 27 + x} \over 6} = {x \over 2} \cr & {{128 + x} \over 6} = {x \over 2} \cr & 128 + x = 3x \cr & x = 64 \cr} $$Rozpisujemy liczby rosnąco i znajdujemy medianę (wartość środkową):$$31,16,25,29,27,64$$Ponieważ występuje tu parzysta ilość liczb,, obliczamy średnią arytmetyczną z 2 środkowych liczb:$${{27 + 29} \over 2} = 28$$

W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.



Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.

Rozwiązanie:

Podstawiamy kolejne wartości przyrostu do wzoru na średnią atytmetyczną; wynik zaokrąglamy:
\({p_{{\rm{s}}r}}\) - średni roczny przyrost$${p_{{\rm{s}}r}} = {{10 + 10 + 7 + 8 + 8 + 7} \over 6} = {{50} \over 6} = 8{1 \over 3}cm \approx 8cm$$Korzystamy ze wzoru na błąd względny i podstawiamy wartość dokładną za \(x\) oraz wartość przybliżoną za \(a\):
\(\Delta w\) - błąd względny$$\eqalign{ & \Delta w = {{\left| {x - a} \right|} \over {\left| x \right|}} \cdot 100\% \cr & \Delta w = {{8{1 \over 3} - 8} \over {8{1 \over 3}}} \cdot 100\% = {1 \over 3} \cdot {3 \over {25}} \cdot 100\% = 0,04 \cdot 100\% = 4\% \cr} $$

Rozwiąż nierówność \(2{x^2} - 4x > 3{x^2} - 6x\).

Rozwiązanie:

Nierówność upraszczamy i doprowadzamy do takiej postaci, zeby po jednej stronie było \(0\). Obliczamy pierwiastki:$$\eqalign{ & 2{x^2} - 4x > 3{x^2} - 6x \cr & 2x > {x^2} \cr & {x^2} - 2x < 0 \cr & x(x - 2) < 0 \cr & x = 0 \cr & x = 2 \cr} $$Rysujemy wykres, zaznaczamy pierwiastki niezamalowanymi punktami, kreślimy parabolę (ramiona do góry - \(x\) przy najwyższej potędze jest dodatni) i zaznaczamy obszar pod osią \(OX\):



Rozwiązaniem nierówności jest przedział:$$x \in (0,2)$$

Rozwiąż równanie \(\left( {4 - x} \right)\left( {{x^2} + 2x - 15} \right) = 0\).

Rozwiązanie:

Obliczamy pierwiastki równania - w tym celu obliczamy deltę wyrażenia znajdującego się w 2. nawiasie:$$\eqalign{ & \left( {4 - x} \right)\left( {{x^2} + 2x - 15} \right) = 0 \cr & {x_1} = 4 \cr & \Delta = {b^2} - 4ac \cr & \Delta = {2^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 15) = 4 + 60 = 64 \cr & \sqrt \Delta = 8 \cr & x = {{ - b \pm \sqrt \Delta } \over {2a}} \cr & {x_2} = {{ - 2 - 8} \over 2} = - 5 \cr & {x_3} = {{ - 2 + 8} \over 2} = 3 \cr} $$Zapisujemy wartości wszytskiech pierwiastków:$$x \in \left\{ { - 5,3,4} \right\}$$

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Na przyprostokątnych \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(G\). Na przeciwprostokątnej \(BC\) wyznaczono punkty \(E\) i \(F\) takie, że \(\left| {\angle DEC} \right| = \left| {\angle BGF} \right| = 90^\circ \) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt \(CDE\) jest podobny do trójkąta \(FBG\).



Rozwiązanie:

Zaznaczamy kąty \(\alpha\) i \(\beta\) na rysunku:



\(\Delta ABC\) i\(\Delta FGB\) mają takie same kąty - \(90^\circ \), ten sam kąt \(\alpha\) oraz identyczny kąt \(\beta\) (odcinki \(AC\) i \(FG\) są równoległe). Są to więc trójkąty podobne. \(\Delta CDE\) jest podobny do \(\Delta ABC\) - również ma identyczne miary kątów. Zatem: \(\Delta CDE\) i\(\Delta FBG\) są podobne, co należało wykazać.

Ciąg \(({a_n})\) jest określony wzorem \({a_n} = 2{n^2} + 2n\) dla \(n \ge 1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Rozwiązanie:

Zadanie wykonujemy na wyrazach ogólnych - obliczamy sumę: \({a_n} + {a_{n + 1}}\):$$\eqalign{ & {a_n} = 2{n^2} + 2n \cr & {a_{n + 1}} = 2 \cdot {(n + 1)^2} + 2 \cdot (n + 1) = 2 \cdot ({n^2} + 2n + 1) + 2n + 2 \cr & {a_{n + 1}} = 2{n^2} + 4n + 2 + 2n + 2 = 2{n^2} + 6n + 4 \cr & \cr & {a_n} + {a_{n + 1}} = 2{n^2} + 2n + 2{n^2} + 6n + 4 = 4{n^2} + 8n + 4 \cr} $$ W wyniku zauważamy wzór skróconego mnożenia:$${a_n} + {a_{n + 1}} = 4{n^2} + 8n + 4 = {\left( {2n + 2} \right)^2}$$Wyrażenie \(2n + 2\) jest liczbą naturalną (z warunku zadania \(n \ge 1\)), co należało wykazać.

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem \(R = \log {A \over {{A_0}}}\), gdzie \(A\) oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, \({A_0} = {10^{ - 4}}cm\) jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od 100 cm.

Rozwiązanie:

Podstawiamy dane do podanego wzoru, a następnie obliczamy; korzystamy z definicji logarytmu:$$\eqalign{ & R = \log {A \over {{A_0}}} \cr & \cr & R = 6,2 \cr & {A_0} = {10^{ - 4}}cm \cr & \cr & 6,2 = {\log _{10}}{A \over {{{10}^{ - 4}}}} \cr & {\log _a}c = b \Rightarrow {a^b} = c \cr & {10^{6,2}} = {A \over {{{10}^{ - 4}}}} \cr & A = {10^{6,2 + ( - 4)}} = {10^{2,2}} = {10^{{{11} \over 5}}} = \root 5 \of {{{10}^{11}}} cm \cr & A > 100cm \cr} $$

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50^\circ \). Oblicz kąty tego trójkąta.

Rozwiązanie:

Z danych z zadania układamy układ równań, a następnie obliczamy odpowiednie wartości kątów tego trójkąta:$$\eqalign{ & \alpha = 3\beta \cr & \gamma - \beta = 50^\circ \cr & \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \cr & \cr & \gamma = 50^\circ + \beta \cr & \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \cr & 3\beta + \beta + 50^\circ + \beta = 180^\circ \cr & 5\beta = 130^\circ \cr & \cr & \beta = {{130^\circ } \over 5} = 26^\circ \cr & \alpha = 3 \cdot 26^\circ = 78^\circ \cr & \gamma = 50^\circ + 26^\circ = 76^\circ \cr} $$

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\) . Wysokość \(SO\) tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(ABCS\) oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Rozwiązanie:



Wzór na objętość ostrosłupa przekształcamy za pomocą odpowiednich wzorów i obliczamy długość boku \(a\) oraz wysokość podstawy \(h\):$$\eqalign{ & V = 27 \cr & V = {1 \over 3} \cdot {P_p} \cdot H \cr & H = h = {{a\sqrt 3 } \over 2} \cr & {P_p} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} \cr & V = {1 \over 3} \cdot {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} \cdot {{a\sqrt 3 } \over 2} = {1 \over 3} \cdot {{3{a^3}} \over 8} = {{{a^3}} \over 8} \cr & 27 = {{{a^3}} \over 8} \cr & {a^3} = 216 \cr & a = 6 \cr & h = 3\sqrt 3 \cr} $$Obliczamy teraz wysokość ściany bocznej ostrosłupa \({h_b}\) z twierdzenia Pitagorasa, znając wysokość ostrosłupa oraz wiedząc, że odcinek łączący spodek wysokości ostrosłupa oraz spodek wysokości ściany bocznej jest równy jednej trzeciej długości wysokości podstawy:$$\eqalign{ & {h_b}^2 = {H^2} + {\left( {{1 \over 3}h} \right)^2} \cr & {h_b}^2 = {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 27 + 3 = 30 \cr & {h_b} = \sqrt {30} \cr} $$Podstawiamy otrzymaną wartość do wzoru na pole powierzchni bocznej ostrosłupa:$$\eqalign{ & {P_b} = 3 \cdot {{a \cdot {h_b}} \over 2} \cr & {P_b} = 3 \cdot {{6 \cdot \sqrt {30} } \over 2} = 9\sqrt {30} \cr} $$Obliczamy wartość cosinusa, układając odpowiedni wzór:$$\eqalign{ & \cos \alpha = {{{1 \over 3}h} \over {{h_b}}} \cr & \cos \alpha = {{\sqrt 3 } \over {\sqrt {30} }} = \sqrt {{3 \over {30}}} = {1 \over {\sqrt {10} }} \cr} $$

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Rozwiązanie:

Do obliczenia prawdopodobieństwa wykorzystujemy wzór z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:$$P(A) = {{\left| A \right|} \over {\left| \Omega \right|}}$$Zbiór składa się z liczb naturalnych dwucyfrowych (jest ich 90 - od 10 do 99); losujemy 2 liczby bez zwracania, zatem:$$\left| \Omega \right| = 90 \cdot (90 - 1) = 90 \cdot 89 = 8010$$Suma wylosowanych liczb ma być równa 30, więc mogą to być tylko następujące pary:$$\left\{ {10,20} \right\},\left\{ {11,19} \right\},\left\{ {12,18} \right\},\left\{ {13,17} \right\},\left\{ {14,16} \right\},\left\{ {15,15} \right\},\left\{ {16,14} \right\},\left\{ {17,13} \right\},\left\{ {18,12} \right\},\left\{ {19,11} \right\}$$Jest ich 10, zatem:$$\eqalign{ & \left| A \right| = 10 \cr & \cr & P(A) = {{10} \over {8010}} = {1 \over {801}} \cr} $$