Wskaż rysunek, na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \( - 4 \le x - 1 \le 4\).

A.

B.

C.

D.


Rozwiązanie:
Odpowiedź C.

Nierówność \( - 4 \le x - 1 \le 4\) można zapisać za pomocą dwóch nierówności: $$ - 4 \le x - 1 \wedge x - 1 \le 4$$ Przekształcamy nierówności, aby po jednej stronie znajdował się \(x\) i otrzymujemy: $$x \ge - 3 \wedge x \le 5$$ Z tego wynika, iż zbiorem rozwiązań nierówności są liczby większe bądź równe -3 i mniejsze bądź równe 5, czyli wszystkie liczby leżące na osi między liczbami -3 a 5, łącznie z tymi liczbami.

Dane są liczby \(a = - {1 \over {27}}\), \(b = {\log _{{1 \over 4}}}64\), \(c = {\log _{{1 \over 3}}}27\). Iloczyn abc jest równy

A. \(-9\)
B.\(- {1 \over {3}}\)
C. \({1 \over {3}}\)
D. \(3\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź B.

Do rozwiązania zadania należy skorzystać z definicji logarytmu: $${\log _a}b = c \Rightarrow {a^c} = b$$ Wartość \(a\) mamy podaną. Obliczamy kolejno \(b\) oraz \(c\):$$b = {\log _{{1 \over 4}}}64 \Rightarrow {\left( {{1 \over 4}} \right)^b} = 64$$$$b = - 3$$

$$c = {\log _{{1 \over 3}}}27 \Rightarrow {\left( {{1 \over 3}} \right)^c} = 27$$$$c = - 3$$Znamy juz wartości \(a\), \(b\) i \(c\), więc obliczamy iloczyn \(abc\):$$abc = - {1 \over {27}} \cdot ( - 3) \cdot ( - 3) = - {1 \over {27}} \cdot 9 = - {1 \over 3}$$

Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4% w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa

A. \(1000 \cdot \left( {1 - {{81} \over {100}} \cdot {4 \over {100}}} \right)\)
B. \(1000 \cdot \left( {1 + {{19} \over {100}} \cdot {4 \over {100}}} \right)\)
C. \(1000 \cdot \left( {1 + {{81} \over {100}} \cdot {4 \over {100}}} \right)\)
D. \(1000 \cdot \left( {1 - {{19} \over {100}} \cdot {4 \over {100}}} \right)\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź C.

Skoro lokata jest oprocentowana w wysokości \(4\%\), to znaczy, że po upływie roku, kwota, jaką możemy wypłacić z banku będzie o \(4\%\) większa od kwoty początkowej, czyli: $$1000 + 4\% \cdot 1000 = 1000 + {4 \over {100}} \cdot 1000 = 1000\left( {1 + {4 \over {1000}}} \right)$$ Jednak od otrzymanych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości \(19\%\). To znaczy, że \(19\%\) tych \(4\%\), które zarobiliśmy, zostaje przeznaczone na zapłacenie podatku. Skoro podatek wynosi \(19\%\), to pozostaje nam \(100\% - 19\% = 89\% = {{89} \over {100}}\) kwoty. Stąd: $$1000 \cdot \left( {1 + {{81} \over {100}} \cdot {4 \over {100}}} \right)$$

Równość \({m \over {5 - \sqrt 5 }} = {{5 + \sqrt 5 } \over 5}\) zachodzi dla

A. \(m=5\)
B. \(m=4\)
C. \(m=1\)
D. \(m=-5\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź B.

Mnożymy równość "na krzyż", przekształcamy i obliczamy wartość \(m\):$$\eqalign{ & {m \over {5 - \sqrt 5 }} = {{5 + \sqrt 5 } \over 5} \cr & 5m = (5 + \sqrt 5 )(5 - \sqrt 5 ) \cr & 5m = 25 - 5 \cr & 5m = 20 \cr & m = 4 \cr} $$

Układ równań \(\langle _{2x + 0,5y = 4}^{x - y = 3}\) opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie

A. zbiór pusty.
B. dokładnie jeden punkt.
C. dokładnie dwa różne punkty.
D. zbiór nieskończony.

Rozwiązanie:
Odpowiedź B.

Rozwiązujemy układ równań:$$\eqalign{ & \langle _{2x + 0,5y = 4}^{x - y = 3} \cr & \langle _{2x + 0,5y = 3}^{ - 2x + 2y = 3} \cr & 2,5y = 3 \cr & y = - {6 \over 5} \cr} $$Widzimy, że \(y\) ma konkretną wartość, zatem układ równań opisuje tylko jeden punkt w układzie współrzędnych.

Suma wszystkich pierwiastków równania \((x + 3)(x + 7)(x - 11) = 0\) jest równa

A.-1
B.21
C.1
D.-21

Rozwiązanie:
Odpowiedź C.

W równaniu dostrzegamy postać iloczynową funkcji. Zatem jej pierwiastki to: \(-3\), \(-7\) i \(11\). Ich suma wynosi: $$ - 3 + ( - 7) + 11 = 1$$

Równanie \({{x - 1} \over {x + 1}} = x - 1\)

A. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=1\).
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\).
C.ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=-1\).
D.ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0\) i \(x=1\).

Rozwiązanie:
Odpowiedź D.

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny:$$\eqalign{ & D:x + 1 \ne 0 \cr & x \ne - 1 \cr} $$ Dokonujemy przekształceń i doprowadzamy do takiej postaci iloczynowej, aby po jednej stronie równania było 0:$$\eqalign{ & {{x - 1} \over {x + 1}} = x - 1 \cr & x - 1 = (x - 1)(x + 1) \cr & x - 1 = {x^2} - 1 \cr & 0 = {x^2} - x \cr & 0 = x(x - 1) \cr} $$ Z powyższego widzimy, iż pierwiastkami równania są 0 i 1. Równanie ma więc dokładnie 2 rozwiązania.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest
A.\((-2,2)\)
B.\(\langle -2,2)\)
C.\(\langle -2,2\rangle \)
D.\(( - 2,2\rangle \)

Rozwiązanie:
Odpowiedź D.

Patrzymy na oś OY. Zauważamy, że wartość funkcji mieści się w granicach pomiędzy -2 a 2. Przy dolnej granicy wartość -2 jest wyłączona z funkcji (niezamalowana kropka). Mimo iż w górnej granicy przy 2 również jest niezamalowana kropka, to funkcja przyjmuje wartość 2, gdy x należy do przedziału od 0 do 1. Zatem zbiorem wartości funkcji jest przedział od -2 otwarty do 2 domknięty.

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem \(f(x) = (m - 1)x + 3\) leży punkt \(S = (5, - 2)\). Zatem

A. \(m=-1\)
B. \(m=0\)
C. \(m=1\)
D. \(m=2\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź B.

Zadanie rozwiązujemy podstawiając do wzoru współrzedne punktu \(S\) i obliczając \(m\):$$\eqalign{ & S = (5, - 2) \Rightarrow x = 5 \wedge y = - 2 \cr & y = (m - 1)x + 3 \cr & - 2 = (m - 1) \cdot 5 + 3 \cr & - 5 = 5m - 5 \cr & 0 = 5m \cr & m = 0 \cr} $$

Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x) = 2x + b\) ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa \(g(x) = - 3x + 4\). Stąd wynika, że

A.\(b=4\)
B.\(b = - {3 \over 2}\)
C.\(b = - {8 \over 3}\)
D.\(b = {4 \over 3}\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź C.

Obliczamy wspólne miejsce zerowe obu funkcji. Ponieważ w \(f(x)\) występuje parametr b, miejsce zerowe obliczamy, korzystając ze wzoru na \(g(x)\):$$\eqalign{ & g(x) = - 3x + 4 \cr & 0 = - 3x + 4 \cr & 3x = 4 \cr & x = {4 \over 3} \cr} $$Obliczamy następnie parametr b, korzystając z pierwszego wzoru i podstawiając za y, 0, oraz za x wyznaczoną przed chwilą wartość:$$\eqalign{ & f(x) = 2x + b \cr & 0 = 2 \cdot {4 \over 3} + b \cr & b = - 2 \cdot {4 \over 3} \cr & b = - {8 \over {3}} \cr} $$

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem \(f(x) = {x^2} + x + c\). Jeżeli \(f(3) = 4\), to

A. \(f(1)=-6\)
B. \(f(1)=0\)
C.\(f(1)=6\)
D.\(f(1)=18\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź A.

Obliczamy najpierw parametr \(c\), wykorzystując wartości \(x\) i \(y\) z \(f(3)=4\):$$\eqalign{ & f(3) = 4 \Rightarrow x = 3 \wedge y = 4 \cr & 4 = {3^2} + 3 + c \cr & 4 = 12 + c \cr & c = - 8 \cr} $$Podstawiamy wartość parametru \(c\) i otrzymujemy ostateczny wzór funkcji:$$f(x) = {x^2} + x - 8$$Obliczamy wartość funkcji dla \(x=1\):$$f(1) = {1^2} + 1 - 8 = - 6$$

Ile liczb całkowitych \(x\) spełnia nierówność \({2 \over 7} < {x \over {14}} < {4 \over 3}\)?

A.14
B.15
C.16
D.17

Rozwiązanie:
Odpowiedź A.

Najlepiej doprowadzić nierówność do postaci, aby \(x\) nie występował w postaci ułamka:$$\eqalign{ & {2 \over 7} < {x \over {14}} < {4 \over 3} \cr & 14 \cdot {2 \over 7} < 14 \cdot {x \over {14}} < 14 \cdot {4 \over 3} \cr & 4 < x < {{56} \over 3} \cr & 4 < x < 18{2 \over 3} \cr} $$Liczby całkowite, które należą do tego przedziału to:$$x \in \left\{ {5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18} \right\}$$Tych liczb jest w sumie 14.

W rosnącym ciągu geometrycznym \(({a_n})\), określonym dla \(n \ge 1\), spełniony jest warunek \({a_4} = 3{a_1}\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy

A. \(q = {1 \over 3}\)
B. \(q = {1 \over {\root 3 \of 3 }}\)
C. \(q = \root 3 \of 3 \)
D. \(q=3\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź C.

Korzystamy ze wzoru ogólnego na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:$${a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}}$$Wyliczamy wzór na 4. wyraz ciągu, podstawiamy podany warunek i obliczamy wartość \(q\):$$\eqalign{ & {a_4} = {a_1} \cdot {q^3} \cr & {a_4} = 3{a_1} \cr & 3{a_1} = {a_1}{q^3} \cr & {q^3} = 3 \cr & q = \root 3 \of 3 \cr} $$

Tangens kąta \(\alpha \) zaznaczonego na rysunku jest równy
\(P=(-4,5)\)

A. \( - {{\sqrt 3 } \over 3}\)
B. \( - {4 \over 5}\)
C. \(-1\)
D. \( - {5 \over 4}\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź D.

Korzystamy ze wzory na tangens dowolnego kąta i podstawiamy współrzędne punkty \(P\):$$\eqalign{ & tg\alpha = {y \over x} \cr & tg\alpha = {5 \over { - 4}} = - {5 \over 4} \cr} $$

Jeżeli \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) oraz \(tg\alpha = 2\sin \alpha \), to

A. \(\cos \alpha = {1 \over 2}\)
B.\(\cos \alpha = {{\sqrt 2 } \over 2}\)
C.\(\cos \alpha = {{\sqrt 3 } \over 2}\)
D.\(\cos \alpha = 1\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź A.

Równość przekształcamy po rozpisaniu \(tg\alpha \):$$\eqalign{ & tg\alpha = 2\sin \alpha \cr & tg\alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} \cr & {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = 2\sin \alpha \cr & \sin \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \cr & 1 = 2\cos \alpha \cr & \cos \alpha = {1 \over 2} \Rightarrow \alpha=60^\circ \cr} $$Wartość kąta \(\alpha\) mieści się w podanym przedziale.

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20° mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa

A.\(5^\circ\)
B.\(10^\circ\)
C.\(20^\circ\)
D.\(30^\circ\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź C.

Korzystamy z własności, że miara kąta środkowego jest dwukrotnie większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:


$$\eqalign{ & \alpha = 2 \cdot (\alpha - 20^\circ ) \cr & \alpha = 2\alpha - 40^\circ \cr & 40^\circ = \alpha \cr & {1 \over 2}\alpha = 20^\circ \cr} $$Kąt środkowy ma więc wartość \(40\circ\) a kąt wpisany oparty na tym samym łuku \(20\circ\).

Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę \(\alpha \). Wtedy

A.\(14^\circ < \alpha < 15^\circ \)
B.\(29^\circ < \alpha < 30^\circ \)
C.\(60^\circ < \alpha < 61^\circ \)
D.\(75^\circ < \alpha < 76^\circ \)

Rozwiązanie:
Odpowiedź A.

Z podanej wartości obwodu wnioskujemy, że romb ma bok o długości 2. Dzięki wartości pola możemy teraz obliczyć wysokość rombu:

$$\eqalign{ & Ob = 4a \cr & a = 2 \cr & P = ah \cr & h = {P \over a} \cr & h = {1 \over 2} \cr} $$Korzystamy dalej ze wzorów funkcji trygonometrycznych do obliczenia kąta \(\alpha\):$$\eqalign{ & \sin \alpha = {h \over a} \cr & \sin \alpha = {1 \over 4} \cr} $$ Wiemy, że dla \(\sin \alpha = {1 \over 2} \Rightarrow \alpha = 30^\circ \). Widzimy, że otrzymany przez nas wynik jest znacznie miejszy od wartości sinusa dla kąta \(30^\circ\). Jedyną możliwą odpowiedzią jest więc przedział: \(14^\circ < \alpha < 15^\circ \)

Prosta \(l\) o równaniu \(y = {m^2}x + 3\) jest równoległa do prostej \(k\) o równaniu \(y = (4m - 4)x - 3\). Zatem

A.\(m=2\)
B.\(m=-2\)
C.\(m = - 2 - 2\sqrt 2 \)
D.\(m = - 2 + 2\sqrt 2 \)

Rozwiązanie:
Odpowiedź A.

Do rozwiązania zadania korzystamy z własności, że równoległe proste mają identyczny współczynnik \(a\) przy \(x\):$$\eqalign{ & l\parallel k \Rightarrow {a_l} = {a_k} \cr & {a_l} = {m^2} \wedge {a_k} = 4m - 4 \cr & {m^2} = 4m - 4 \cr & {m^2} - 4m + 4 = 0 \cr & {(m - 2)^2} = 0 \cr} $$Z powyższego wynika, że \(m=2\).

Proste o równaniach: \(y = 2mx - {m^2} - 1\) oraz \(y = 4{m^2}x + {m^2} + 1\) są prostopadłe dla

A.\(m = - {1 \over 2}\)
B.\(m = {1 \over 2}\)
C.\(m=1\)
D.\(m=2\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź A.

2 proste są prostopadłe, gdy iloczyn współczynników \(a\) ma wartość -1:$$\eqalign{ & l \bot k \Rightarrow {a_l} \cdot {a_k} = - 1 \cr & {a_l} = 2m \wedge {a_k} = 4{m^2} \cr & 2m \cdot 4{m^2} = - 1 \cr & 8{m^3} = - 1 \cr & {m^3} = - {1 \over 8} \cr & m = - {1 \over 2} \cr} $$

Dane są punkty \(M = ( - 2,1)\) i \(N = ( - 1,3)\). Punkt \(K\) jest środkiem odcinka \(MN\). Obrazem punktu \(K\) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt

A.\(K' = \left( {2, - {3 \over 2}} \right)\)
B.\(K' = \left( {2,{3 \over 2}} \right)\)
C.\(K' = \left( {{3 \over 2},2} \right)\)
D.\(K' = \left( {{3 \over 2}, - 2} \right)\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź D.



Szukamy najpierw współrzędne punktu \(K\) korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka:$$\eqalign{ & S = \left( {{{{x_1} + {x_2}} \over 2},{{{y_1} + {y_2}} \over 2}} \right) \cr & K = \left( {{{ - 2 + ( - 1)} \over 2},{{1 + 3} \over 2}} \right) = \left( { - {3 \over 2},2} \right) \cr} $$Ponieważ szukamy obrazu punktu względem początku układu współrzędnych, zmieniamy znaki obu współrzędnych punktu \(K\):$$K' = \left( {{3 \over 2}, - 2} \right)$$

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(EFGHIJKL\) wierzchołki \(E, G, L\) połączono odcinkami (tak jak na rysunku).

Wskaż kąt między wysokością \(OL\) trójkąta \(EGL\) i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.

A.\(\angle HOL\)
B.\(\angle OGL\)
C.\(\angle HLO\)
D.\(\angle OHL\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź A.


Kąt między wysokością \(OL\) trójkąta \(EGL\) i płaszczyzną podstawy graniastosłupa to: \(\angle HOL\).

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6 . Objętość tego stożka jest równa

A.\(27\pi \sqrt 3 \)
B.\(9\pi\)
C.\(18\pi\)
D.\(6\pi\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź B.

Korzystamy ze wzoru na objętość stożka, wykorzystując także wzór na wysokość w trójkącie równobocznym oraz pole koła:$$\eqalign{ & V = {1 \over 3} \cdot {P_p} \cdot h \cr & h = {{a\sqrt 3 } \over 2} \cr & {P_p} = \pi {r^2} \cr} $$$$\eqalign{ & a = 6 \Rightarrow r = 3 \cr & h = 3\sqrt 3 \wedge {P_p} = 9\pi \cr & V = {1 \over 3} \cdot 9\pi \cdot 3\sqrt 3 = 9\pi \sqrt 3 \cr} $$

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8 . Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

A.\({{{8^2}} \over 3}\left( {{{\sqrt 3 } \over 2} + 3} \right)\)
B.\({8^2} \cdot \sqrt 3 \)
C.\({{{8^2}\sqrt 6 } \over 3}\)
D.\({8^2}\left( {{{\sqrt 3 } \over 2} + 3} \right)\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź D.

Wyznaczamy wzór na pole powierczhni całkowitej bryły. Składa się ona z 2 podstaw o kształcie trójkątów równobocznych oraz 3 ścian będących kwadratami:$$\eqalign{ & {P_c} = 2 \cdot {P_p} + {P_b} \cr & {P_p} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} \cr & {P_b} = 3 \cdot {a^2} \cr} $$Podstawiamy podaną długość krawędzi boku i obliczamy:$$\eqalign{ & {P_c} = 2 \cdot {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} + 3 \cdot {a^2} \cr & {P_c} = 2 \cdot {{{8^2}\sqrt 3 } \over 4} + 3 \cdot {8^2} = {{{8^2}\sqrt 3 } \over 2} + 3 \cdot {8^2} = {8^2}\left( {{{\sqrt 3 } \over 2} + 3} \right) \cr} $$

Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, 9 jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, 9, x. Wynika stąd, że

A. \(x=0\)
B.\(x=3\)
C.\(x=5\)
D.\(x=6\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź D.

Obliczamy najpierw wartość średniej arytmetycznej dla pierwszego zestawu liczb:$${{2 + 4 + 7 + 8 + 9} \over 5} = {{30} \over 5} = 6$$Znając wartość średniej, obliczamy \(x\) za pomocą drugiego zestawu liczb:$$\eqalign{ & 6 = {{2 + 4 + 7 + 8 + 9 + x} \over 6} \cr & 6 = {{30 + x} \over 6} \cr & 36 = 30 + x \cr & x = 6 \cr} $$

W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będączerwone. Wtedy

A.\(p = {1 \over 4}\)
B.\(p = {3 \over 8}\)
C.\(p = {1 \over 2}\)
D.\(p = {2 \over 3}\)

Rozwiązanie:
Odpowiedź B.

Do obliczenia prawdobodobieństwa wykorzystujemy wzór z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:$$P(A) = {{\left| A \right|} \over {\left| \Omega \right|}}$$Za \(\left| \Omega \right|\) podstawiamy liczbę możliwości otrzymania zestawu 3 kul - z każdego pojemnika są po 2 możliwości, a za \(\left| A \right|\) liczbę możliwych zestawień, w których występują tylko 2 kule czerwone (to jest: CCN, CNC, NCC):$$\eqalign{ & \left| \Omega \right| = {2^3} \cr & \left| A \right| = 3 \cr & p = {3 \over {{2^3}}} = {3 \over 8} \cr} $$

Rozwiąż nierówność \(2{x^2} - 4x > (x + 3)(x - 2)\).

Rozwiązanie:

Rozwiązanie nierówności rozpoczynamy od wymnożenia nawiasów po prawej stronie, a następnie przekształcamy nierówność, aby po prawej stronie pozostało \(0\) i upraszczamy nierówność:$$\eqalign{ & 2{x^2} - 4x > (x + 3)(x - 2) \cr & 2{x^2} - 4x > {x^2} + x - 6 \cr & {x^2} - 5x + 6 > 0 \cr} $$Obliczamy pierwiastki funkcji i zapisujemy wzór funkcji w postacji iloczynowej:$$\eqalign{ & \Delta = {b^2} - 4ac \cr & \Delta = 25 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \cr & \sqrt \Delta = 1 \cr & x = {{ - b \pm \sqrt \Delta } \over {2a}} \cr & {x_1} = {{5 - 1} \over 2} = 2 \cr & {x_2} = {{5 + 1} \over 2} = 3 \cr & \cr & (x - 2)(x - 3) > 0 \cr} $$Znane są już pierwiastki funkcji, więc możemy je nanieść na wykres i zaznaczyć obszar. Ramiona paraboli są skierowane do góry (\(\) przy najwyższej potędze jest dodatni), pierwiastki są zaznaczone niezamalowaną kropką, gdyż w nierówności mamy znak \(>\) oraz zamalowujemy obszar nad osią OX, gdyż są to wartości większe od zera:


Rozwiązaniem nierówności jest więc obszar:$$x \in ( - \infty ,2) \cup (3, + \infty )$$

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(4{x^2} - 8xy + 5{y^2} \ge 0\).

Rozwiązanie:

Najlepiej rozbić w nierówności \({5y^2}\) i zauważyć wzór skróconego mnożenia:$$\eqalign{ & x,y \in R \cr & 4{x^2} - 8xy + 5{y^2} \ge 0 \cr & 4{x^2} - 8xy + 4{y^2} + {y^2} \ge 0 \cr & {(2x - 2y)^2} + {y^2} \ge 0 \cr} $$Ponieważ wiemy z definicji, że każda liczba podniesiona do kwadratu jest większa bądź równa \(0\), nierówność jest prawdziwa:$$\eqalign{ & {(2x - 2y)^2} \ge 0 \wedge {y^2} \ge 0 \cr & \Rightarrow {(2x - 2y)^2} + {y^2} \ge 0 \cr & \Rightarrow 4{x^2} - 8xy + 5{y^2} \ge 0 \cr & c.n.u. \cr} $$

Dany jest kwadrat \(ABCD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Punkty \(K\) i \(M\) są środkami odcinków – odpowiednio – \(AE\) i \(EC\). Punkty \(L\) i \(N\) leżą na przekątnej \(BD\) tak, że \(\left| {BL} \right| = {1 \over 3}\left| {BE} \right|\) i \(\left| {DN} \right| = {1 \over 3}\left| {DE} \right|\) (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta \(KLMN\) do pola kwadratu \(ABCD\) jest równy 1:3.



Rozwiązanie:

Wykazać mamy następujące:$${{{P_{KLMN}}} \over {{P_{ABCD}}}} = {1 \over 3}$$Oznaczmy sobie bok kwadratu \(ABCD\) jako \(a\):$$a = \left| {AB} \right| = \left| {BC} \right| = \left| {CD} \right| = \left| {DA} \right|$$Rozpiszmy wzory na pola kwadratu oraz rombu:$$\eqalign{ & {P_{ABCD}} = {a^2} \cr & {P_{KLMN}} = {{e \cdot f} \over 2} \cr & {P_{KLMN}} = {{\left| {NL} \right| \cdot \left| {KM} \right|} \over 2} \cr} $$W zadaniu mamy także podane informacje, że: punkty \(K\) i \(M\) są środkami odcinków odpowiednio \(AE\) i \(EC\) oraz \(\left| {BL} \right| = {1 \over 3}\left| {BE} \right|\) i \(\left| {DN} \right| = {1 \over 3}\left| {DE} \right|\). Z powyższego wynika:$$\eqalign{ & \left| {AC} \right| = a\sqrt 2 \cr & \left| {AE} \right| = \left| {CE} \right| = {{a\sqrt 2 } \over 2} \cr & \left| {AK} \right| = \left| {KE} \right| = \left| {EM} \right| = \left| {MC} \right| = {{a\sqrt 2 } \over 4} \cr & \left| {MK} \right| = 2 \cdot {{a\sqrt 2 } \over 4} = {{a\sqrt 2 } \over 2} \cr & \cr & \left| {BL} \right| = {1 \over 3}\left| {BE} \right| \Rightarrow \left| {EL} \right| = {2 \over 3}\left| {BE} \right| \cr & \left| {EL} \right| = \left| {NE} \right| = {2 \over 3} \cdot {{a\sqrt 2 } \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 3} \cr & \left| {NL} \right| = 2 \cdot {{a\sqrt 2 } \over 3} = {2 \over 3} \cdot a\sqrt 2 \cr} $$Podstawiamy otrzymane wyniki to zapisanego wcześniej wzoru:$$\eqalign{ & {P_{KLMN}} = {{{2 \over 3}a\sqrt 2 \cdot {1 \over 2}a\sqrt 2 } \over 2} = {{{2 \over 6}{a^2} \cdot 2} \over 2} = {1 \over 3}{a^2} \cr & {{{P_{KLMN}}} \over {{P_{ABCD}}}} = {{{1 \over 3}{a^2}} \over {{a^2}}} = {1 \over 3} \cr & c.n.u. \cr} $$

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x) = {x^2} - 6x + 3\) w przedziale \(\left\langle {0,\left. 4 \right\rangle } \right.\).

Rozwiązanie:

Podany mamy wzór funkcji kwadratowej. Na jego podstawie wyznaczamy pierwiastki i rysujemy wykres funkcji, zaznaczając jednocześnie punkty \(min\) i \(max\) znajdujące się w podanym przedziale:$$\eqalign{ & f(x) = {x^2} - 6x + 3 \cr & x \in \left\langle {0,4} \right\rangle \cr & \cr & \Delta = {b^2} - 4ac \cr & \Delta = 36 - 4 \cdot 3 = 36 - 12 = 24 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {24} = 2\sqrt 6 \cr & \cr & x = {{ - b \pm \sqrt \Delta } \over {2a}} \cr & {x_1} = {{6 - 2\sqrt 6 } \over 2} = 3 - \sqrt 6 \approx 0,6 \cr & {x_1} = {{6 + 2\sqrt 6 } \over 2} = 3 + \sqrt 6 \approx 5,4 \cr} $$


Ramiona paraboli są skierowane do góry (\(x\) przy najwyższej potędze jest dodatni). Zauważamy, że najmniejszą wartość funkcja kwadratowa ma w swoim wierzchołku. Obliczamy jego współrzędne ze wzoru: $$\eqalign{ & W = (p,q) \Rightarrow p = - {b \over {2a}} \wedge q = - {\Delta \over {4a}} \cr & p = - {{ - 6} \over 2} = 3 \cr & q = - {{24} \over 4} = - 6 \cr & W = (3, - 6) \cr} $$Funkcja ma natomiast najwyższą wartość w tym przedziale dla \(x=0\). Obliczamy więc tą wartość podstawiając \(x=0\) do wzoru funkcji:$$\eqalign{ & W = (p,q) \Rightarrow p = - {b \over {2a}} \wedge q = - {\Delta \over {4a}} \cr & p = - {{ - 6} \over 2} = 3 \cr & q = - {{24} \over 4} = - 6 \cr & W = (3, - 6) \cr} $$Podsumowując, funkcja w przedziale \(\left\langle {0,4} \right\rangle \) ma najmniejszą wartość \(f(3)=-6\) i największą \(f(0)=3\).

W układzie współrzędnych są dane punkty \(A = ( - 43, - 12)\), \(B = (50,19)\) Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).

Rozwiązanie:

Najlepiej zacząć od naszkicowania w układzie współrzędnych prostej, zaznaczając punkty \(A\) i \(B\) oraz punkt \(P\):


Mając 2 punkty prostej, jesteśmy w stanie obliczyć jej wzór:$$\eqalign{ & y = ax + b \cr & A = ( - 43, - 12) \Rightarrow x = - 43 \wedge y = - 12 \cr & B = (50,19) \Rightarrow x = 50 \wedge y = 19 \cr & \langle _{19 = a \cdot 50 + b}^{ - 12 = a \cdot ( - 43) + b} \cr & b = - 12 + 43a \cr & \cr & 19 = 50a + ( - 12 + 43a) \cr & 31 = 93a \cr & a = {1 \over 3} \cr & b = - 12 + {{43} \over 3} = 2{1 \over 3} \cr & \cr & y = {1 \over 3}x + 2{1 \over 3} \cr} $$Wiemy, że punkt P leży na osi \(OX\), więc jego współrzędna \(y=0\). Obliczamy drugą współrzędna, podstawiając to do wzoru prostej:$$\eqalign{ & y = {1 \over 3}x + 2{1 \over 3} \cr & 0 = {1 \over 3}x + 2{1 \over 3} \cr & {1 \over 3}x = - 2{1 \over 3} \cr & {1 \over 3}x = - {7 \over 3} \cr & x = - 7 \cr} $$

Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \({4 \over 7}\) , a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy \({1 \over 2}\). Wyznacz ten ułamek.

Rozwiązanie:

Zapisujemy odpowiedni układ równań i rozwiązujemy:$$\eqalign{ & {{a + 0,5a} \over {b + 0,5a}} = {4 \over 7} \Rightarrow {{{3 \over 2}a} \over {b + {1 \over 2}a}} = {4 \over 7} \cr & \wedge \cr & {{a + 1} \over {b + 1}} = {1 \over 2} \cr} $$W tej chwili równanie najlepiej doprowadzić do prostszej postaci mnożąc na krzyż:$$\eqalign{ & {{{3 \over 2}a} \over {b + {1 \over 2}a}} = {4 \over 7} \cr & {{21} \over 2}a = 4b + 2a \cr & 21a = 8b + 4a \cr & 17a = 8b \cr & \cr & {{a + 1} \over {b + 1}} = {1 \over 2} \cr & 2a + 2 = b + 1 \cr & 2a + 1 = b \cr} $$Podstawiamy wyliczone \(b\) do poprzedniego równania i obliczamy kolejno wartość \(a\) oraz \(b\):$$\eqalign{ & 17a = 8 \cdot (2a + 1) \cr & 17a = 16a + 8 \cr & a = 8 \cr & b = 16 + 1 = 17 \cr} $$Wyznaczamy szukany ułamek:$${a \over b} = {8 \over {17}}$$

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \({3 \over 5}\) . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Szkicujemy rysunek pomocniczy, zaznaczając m.in. podany kąt:


Znając wysokość \(H\) graniastosłupa, podaną wartość cosinusa oraz wzór na przekątną kwadratu, jesteśmy w stanie obliczyć dlugość krawędzi podstawy:$$\eqalign{ & H = 16 \cr & \cos \alpha = {3 \over 5} = {{3x} \over {5x}} \cr & {(5x)^2} = {H^2} + {(3x)^2} \Rightarrow H = 4x \cr & 16 = 4x \cr & x = 4 \cr & \cr & d = a\sqrt 2 \cr & 3x = a\sqrt 2 \cr & a = {{3x} \over {\sqrt 2 }} = {{3x\sqrt 2 } \over 2} \cr & a = {{3 \cdot 4\sqrt 2 } \over 2} = 6\sqrt 2 \cr} $$Możemy teraz obliczyć pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa:$$\eqalign{ & {P_c} = 2{P_p} + {P_b} \cr & {P_p} = {a^2} \cr & {P_p} = {(6\sqrt 2 )^2} = 72 \cr & {P_b} = 4aH \cr & {P_b} = 4 \cdot 6\sqrt 2 \cdot 16 = 384\sqrt 2 \cr & {P_c} = 144 + 384\sqrt 2 = 48\left( {3 + 8\sqrt 2 } \right) \cr} $$

Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.

Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

Rozwiązanie:

Wiemy, że 27 osób kupiło oba rodzaje biletów. Jeżeli odejmiemy tę liczbę od liczby osób, które kupiły poszczególny rodzaj biletów, otrzymamy liczbę osób, który kupiły tylko dany rodzaj biletu:$$\eqalign{ & U \to 76 - 27 = 49 \cr & N \to 41 - 27 = 14 \cr} $$Jeżeli zsumujemy wszystkie 3 wielkości, otrzymamy liczbę osób, które kupiły bilety:$$49 + 14 + 27 = 90$$Musimy teraz tę wielkość odjąć od liczby osób, wśród których przeprowadzono badania ankietowe i otrzymamy liczbę osób, które nie kupiły żadnego biletu:$$115 - 90 = 25$$. Prawdopodobieństwo obliczamy ze wzoru:$$\eqalign{ & P(A) = {{\left| A \right|} \over {\left| \Omega \right|}} \cr & \left| A \right| = 25 \cr & \left| \Omega \right| = 115 \cr & P(A) = {{25} \over {115}} = {5 \over {23}} \cr} $$

W nieskończonym ciągu arytmetycznym \(({a_n})\), określonym dla \(n \ge 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy \({a_1},{a_2},{a_k}\) ciągu \(({a_n})\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny \(({b_n})\). Oblicz \(k\).

Rozwiązanie:

Wypisujemy dane zawarte w treści zadania:$$\eqalign{ & {S_{11}} = 187 \cr & {{{a_1} + {a_3} + {a_9}} \over 3} = 12 \cr & {a_1},{a_3},{a_k} \in ({b_n}) \cr} $$Rozpiszmy pierwsze 2 równości, wykorzystując wzory na sumę oraz n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: $$\eqalign{ & {S_{11}} = 187 \cr & {{{a_1} + {a_3} + {a_9}} \over 3} = 12 \cr & \cr & {S_n} = {{{a_1} + {a_n}} \over 2} \cdot n \cr & {a_n} = {a_1} + (n - 1) \cdot r \cr & \cr & {a_3} = {a_1} + 2r \cr & {a_9} = {a_1} + 8r \cr & {a_{11}} = {a_1} + 10r \cr & \cr & 187 = {{{a_1} + {a_{11}}} \over 2} \cdot 11 \cr & 187 = {{{a_1} + {a_1} + 10r} \over 2} \cdot 11 \cr & 187 = {{2{a_1} + 10r} \over 2} \cdot 11 \cr & 187 = ({a_1} + 5r) \cdot 11 \cr & 187 = 11{a_1} + 55r \cr & \cr & {{{a_1} + {a_1} + 2r + {a_1} + 8r} \over 3} = 12 \cr & 3{a_1} + 10r = 36 \cr & 10r = 36 - 3{a_1} \cr & 55r = 198 - 16,5{a_1} \cr & \cr & 187 = 11{a_1} + 198 - 16,5{a_1} \cr & 5,5{a_1} = 198 - 187 \cr & 5,5{a_1} = 11 \cr & {a_1} = 2 \cr & \cr & r = {{36 - 3{a_1}} \over {10}} \cr & r = {{36 - 6} \over {10}} = 3 \cr} $$Mamy obliczony pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego oraz jego różnicę. Przystępujemy teraz do rozpatrzenia danego ciągu geometrycznego. Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:$$\eqalign{ & {a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}} \cr & \cr & {b_1} = {a_1} \cr & {b_2} = {a_3} \cr & {b_3} = {a_k} \cr & \cr & {b_2} = {b_1} \cdot q \cr & {b_3} = {b_1} \cdot {q^2} \cr & \cr & {a_1} = 2 = {b_1} \cr & {a_3} = {a_1} + 2r \cr & {a_3} = 2 + 6 = 8 = {b_2} \cr & \cr & q = {{{b_2}} \over {{b_1}}} \cr & q = {8 \over 2} = 4 \cr & {b_3} = 2 \cdot {4^2} = 2 \cdot 16 = 32 = {a_k} \cr & \cr & {a_k} = {a_1} + (k - 1)r \cr & 32 = 2 + (k - 1) \cdot 3 \cr & 30 = (k - 1) \cdot 3 \cr & 10 = k - 1 \cr & k = 11 \cr} $$