SYSTEMY ZAPISYWANIA LICZB

Co jest najmądrzejsze?
Liczba.
Co jest najpiękniejsze?
Harmonia.
Czym jest cały świat?
Liczbą i harmonią.

Pitagoras

Wprowadzenie

Systemem liczbowym nazywamy zbiór zasad, które określają sposób zapisu liczb, a także reguły działania na nich. Ważnym elementem każdego systemu są cyfry (skończony zbiór znaków). Systemy pozycyjne posiadają tzw. podstawę, która jest stałą cechą systemu.

Rodzaje systemów liczbowych

System karbowy

Pochodzi z ok 30 000 r. p.n.e. Polegał na żłobieniu nacięć na powierzchni kości. Ilość tych znaków, tzw. karbów, oznaczała liczbę.

|||| 4
|||||||||||| 12
|||||||||||||||||||||||||||||||| 32

W celu łatwiejszego odczytu większych liczb stosowano także inne oznaczenia, dla co piątej lub co dziesiątej kreski.

||||/||||/||||/||||/|||| 24
||||/||||X||||/||||X||||/||||X||||/||||X||||/||| 48

Pobierz zadania

System Majów

Oparty na 3 symbolach oznaczających cyfry od 0 do 19: kropka, kreska oraz muszla (0).

0123456789
10111213141516171819

NazwaWartość
kin1
uinal20
tun360
katun7 200
baktun144 tys.
piktun2 880 tys.
calabtun57 600 tys.
kinchiltun1 152 mln
alautun23 040 mln
Liczbę budowano pionowo, umieszczając cyfry w rzędach, każda o określonej wartości – najwyższe na górze, najniższe na dole.

Ciekawostką jest wartość rządu twz. tun (360), który jest 18 razy większy od swojego poprzedniego, a nie 20. Związane to było ze słynnym kalendarzem Majów, który liczył 18 miesięcy w roku (każdy po 20 dni).

 5 x 360 = 1800
 10 x 20 = 200
 15 x 1 = 15
 _______
 = 2015
        
 17 x 360 = 6120
 0 x 20 = 0
 4 x 1 = 4
 _______
 = 6214
        
 2 x 7200 = 14400
 16 x 360 = 5760
 7 x 20 = 140
 3 x 1 = 3
 _______
 = 20303


Pobierz zadania

System egipski

Powszechny od 3000 r. p.n.e. Liczby zapisywane za pomocą hieroglifów. Każda potęga 10 była oznaczona innym znakiem.

1101001 00010 000100 0001 mln

Suma wartości pojedynczych znaków w zapisie oznacza wartość całkowitej liczby. Kierunek zapisywania liczb jest bez znaczenia.

= 22
= 2015
= 3 201 061

Pobierz zadania

System babiloński

Obecny już od XVIII w. p.n.e. stosowany po dzień dzisiejszy w mierzeniu jednostek czasu. Powstały w Babilonii, cyfry zapisywane za pomocą znaków pisma klinowego.

123456789
1020304050

Liczby od 1 do 59 tworzono poprzez kombinacje cyfr wielokrotności 10 oraz cyfr 1-9:

= 19
= 37
= 52

Wartość liczb od 60 wzwyż to suma wartości poszczególnych znaków począwszy od prawej strony pomnożonych przez kolejne potęgi liczby 60 (600, 601, 602,...). Kwestię dot. braku znaku na liczbę 0 rozwiązywano pozostawiając puste pole w koniecznym miejscu.

= 69 = 1x601 + 9x600
= 186 = 3x601 + 6x600
= 3602 = 1x602 + 0x601 + 2x600


Pobierz zadania

System grecki

123456789
α' β' γ' δ' ε' ϝ' ζ' η' θ'
102030405060708090
ι' κ' λ' μ' ν' ξ' ο' π' ϟ'
100200300400500600700800900
ρ' σ' τ' υ' φ' χ' ψ' ω' ϡ'
Opraty na alfabecie greckim. Liczby zakończone specjalnym znakiem: ‘ tzw. kerają, w celu odróżnienia od zwykłych liter. Kolejne litery oznaczaly liczby od 1 do 10, wielokrotności 10 do 100 oraz wielokrotnosci 100 do 900. Ponieważ alfabet posiadał tylko 24 litery, konieczne było rozszerzonie alfabetu o 3 nowe znaki: ϝ (6), ϟ (90), ϡ (900).

ικε' = 100 + 20 + 5 = 125
υπγ' = 400 + 80 + 3 = 483
ωζ' = 800 + 7 = 807

Do zapisywania liczb o większej wartości stosowano: ͵ "lewą keraję", która stawiana przed znakiem zwiększała jego wartość 1000 razy.

͵βιε' = 2000 + 10 + 5 = 2015
͵σ͵μψθ' = 200 000 + 40 000 + 700 + 9 = 240 709

Pobierz zadania

System rzymski

System zapisu powszechny również w dzisiejszych czasach. Jednak oryginalna forma znaków miała inną postać.

1510501005001000
IVXLCDM



System arabski

Podstawowy system liczbowy świata. Nazwywane systemem „arabskim”, gdyż to za pośrednictwem właśnie Arabów dotarł do Europy z Indii. Do zapisu stosowano cyfry od 0 do 9. Ich oryginalna forma była jednak odmienna:

0123456789

Istatniały również inne warianty zapisu ze względu na etniczość indyjską.

System binarny

Powszechnie stosowany w informatyce i elektronice. Liczby tworzone za pomocą 2 cyfr: 0 i 1. Wartość w systemie dziesiętym jest sumą wartości kolejnych cyfr, począwszy od prawej strony pomnożonych przez kolejne potęgi liczby 2 (20, 21, 22, 23, ...).

10011 = 1x24 + 0x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 = 19
1011001 = 1x26 + 1x24 + 1x23 + 1x20 = 89
100001000011 = 1x211 + 1x26 + 1x21 + 1x20 = 2115

Pobierz zadania

System ósemkowy

Stosowany w informatyce z powodu łatwiejszego sposobu przeliczania niż system binarny. Do zapisu stosuje się 8 liczb: od 0 do 7. Wartość w systemie dziesiętym jest sumą wartości kolejnych cyfr, począwszy od prawej strony pomnożonych przez kolejne potęgi liczby 8 (80, 81, 82, 83, ...).

27 = 2x81 + 7x80 = 16 + 7 = 23
165 = 1x82 + 6x81 + 5x80 = 64 + 48 + 5 = 117
2371 = 2x83 + 3x82 + 7x81 + 1x80 = 1273

Pobierz zadania

System heksadecybalny

Ma zastosowanie w programowaniu. Do zapisu liczb stosuje sie 10 cyfr: od 0 do 9 oraz 6 znaków (liter z łacińskiego alfabetu): A, B, C, D, E, F, które odpowiadają kolejno liczbom: od 10 do 15. Wartość w systemie dziesiętym jest sumą wartości kolejnych znaków, począwszy od prawej strony pomnożonych przez kolejne potęgi liczby 16 (160, 161, 162, 163, ...).

B5 = 11x161 + 5x160 = 176 + 80 = 256
3FA = 3x162 + 15x161 + 10x160 = 768 + 240 + 10 = 1018
1C29 = 1x163 + 12x162 + 2x161 + 9x160 = 4649

Pobierz zadania

System Fibonacciego




Ciąg Fibonacciego

Słynny ciąg składa się z liczb naturalnych, począwszy od 0 i 1, po czym każda kolejna liczba ciągu jest sumą wartości dwóch poprzednich liczb.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...

Może być określony w następujący sposób:

Fn = 0 ⇔ n = 0
Fn = 1 ⇔ n = 1
Fn = Fn-1 + Fn-2 ⇔ n ≥ 2

Spirala Fibonacciego

Charakterystycznym elementem to własność polegająca na tym, że liczby Fibonacciego są długościami boków ciągu kwadratów dorysowywanych do siebie, które mogą być do siebie dokładane w nieskończoność.

W wyniku rysowania łuków łączących kolejne przeciwległe wierzchołki kwadratów otrzymujemy spiralę Fibonacciego. W tym wypadku liczby Fibonacciego tworzą kolejne promienie ćwiartek okręgów.

System Fibonacciego

Jest odmianą systemu binarnego - wartośći pozycji są kolejnymi liczbami Fibonacciego, wyłączając początkowe 0 i 1 (czyli: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, itd.).

101 = 1x3 + 0x2 + 1x1 = 3+1 = 4
100101 = 1x13 + 1x3 + 1x1 = 13+3+1 = 17
101000101 = 1x55 + 1x21 + 1x3 + 1x1 = 55+21+3+1 = 80

Ponieważ w takim zapisie istnieje możliwość zakodowania liczby na dwa sposoby (np. 100 = 3 oraz 11 = 3), dwie kolejne cyfry liczby nie mogą być 1.

Źródła:
grafika przetworzona z portalu www.freeimages.com :
http://www.freeimages.com/photo/digital-dreams-1155914
http://www.freeimages.com/photo/clock-1-1422903

tekst opracowany na podstawie m.in.:
Georges Ifrah, „The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer”, Wiley, 2000 r.
Edward Jerzy Pokorny, „Narodziny liczby”, Iskry, 1957 r.

a także serwisów internetowych:
http://www.math.edu.pl/systemy-liczbowe
http://www.programuj.com/artykuly/rozne/sysliczb.php
http://eduinf.waw.pl/inf/alg/001_search/0025.php


© 2015 Michał Kierat